Quelques problèmes mathématiques

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Soit à démontrer que 0,9999999... = 1 !

Soit  a=0,999999...
Multiplions a par 10 :  10a = 9,9999999... 
Attention, c'est là que ça se passe : 
   10a = 9 + a
Et 10a - a = 9
  Ou encore
    9a = 9
On peut donc dire sans peur : 0,99999... = 1

En voici une autre démonstration que je trouve assez jolie quoi que moins intuitive :

Commencons par déterminer les entiers relatifs p et q tels que :

 p
---=  0,rrrr...  avec r entier naturel
 q

soit a = 0,rrrr...
10^{1 + log₁₀(r)} a = r,rrrr...= r + a
donc r = 10^{1 + log₁₀(r)} a - a = (10^{1 + log₁₀(r)}- 1) a
et par suite :
a = r / (10^{1 + log₁₀(r)}- 1)

Un petit exemple n'est peut-être pas inutile : On cherche à trouver une fraction égale à 0,1234512345...

soit a = 0,1234512345...
    100000 a = 12345 + a
et  100000 a - a = 12345
d'où a = 12345 / 99999 que l'on peut simplifier en 4115 / 33333

Pour en revenir à notre exercice, 0,999... = 9 / (10 - 1) = 9 / 9 = 1
Et une petite vérification pour les sceptiques : 0,333... = 3 / 9 = 1 / 3
Ouf, ça rassure

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